レンタルサーバーを検討する際、利用できるデータベースの数は重要です。利用料金に反映されやすい項目なので安くしたいのであれば、データベース数を妥協することになります。
例えば無料や低価格帯のレンタルサーバーはデータベースが利用できなかったり、1個だけだったりします。高価格帯のレンタルサーバーになるとデータベース数が無制限となります。
WordPressなどのCMSを利用して複数のサイトを運営するなら、必要なデータベース数を見積もっておく必要があります。
1つのデータベースに多くのテーブルを詰め込むことも可能です。ただしテーブル名の重複は許されませんし、ドメインの異なるデータを混在させるのはトラブルの原因です。
あれこれ工夫して少ないデータベースでやりくりするよりは、最初から余裕のあるプランを選択すると良いと思います。
他のデメリットはありません。あるとすればデータベースをたくさん利用すると管理が面倒になるくらいです(これは仕方ありません)。
レンタルサーバーでデータベースと言えば多くはMySQLのことを指します。初心者であればMySQLのほうが情報が多いので利用しやすいでしょう。例えばPHPとの組み合わせで検索すると、7倍ほどの差があります。
特別な理由がなければPostgreSQLを選択する必要はありません。PostgreSQLを利用できるレンタルサーバーはMySQLも併用できる場合がほとんどです。
多くのレンタルサーバーでは公式にはサポートしていないもののSQLiteを使うことができます。ちょっとしたデータ管理であれば十二分な性能を持っています。データベースが不足する、または使うほどでもない時は、SQLiteの利用を検討してはいかがでしょうか。